D'on surt el nombre pi? (Primera part)

Fa molt de temps que vaig començar el primer capítol d'una sèrie dedicada al nombre π i avui enceto el segon. En aquest capítol intentaré desvetllar una part del misteri: d'on surt el nombre π?

Des de l'escola primària sabem que el nombre pi estableix la relació entre el diàmetre d'una circumferència i el seu perímetre. Si p és el perímetre de la circumferència i d = 2*r n'és el diàmetre (i r el radi), sabem que p = π*d = 2*π*r. Però aquesta no és l'única relació famosa del nombre π. π també estableix la relació entre la superfície d'un cerce i el quadrat del seu radi. O sigui, si A és l'àrea d'un cercle sabem que A = π*r². Per tant, el nombre π apareix relacionat amb cercles i circumferències en dues de les seves propietats bàsiques: la relació entre el perímetre i el diàmetre i la relació entre l'àrea i el quadrat del seu radi.

En aquest article, ens centrarem en trobar que, efectivament, el misteriós nombre π estableix la relació entre el perímetre d'una circumferència i el seu diàmetre. Considerem, en primer lloc, la semicircumferència de la figura següent:

Figura 1: Semicircumferència dividida en 4 triangles

Suposem que volem conèixer el perímetre p d'aquesta semicircumferència. El valor hauria de ser la meitat del perímetre de la circumferència completa, és a dir, p = π*r. Una manera aproximada de fer-ho seria dividir la semicircumferència en quatre triangles idèntics (dibuixats en color vermell), mesurar el costat l del triangle, i sumar els quatre costats que queden compresos en els quatre arcs de la figura. Així doncs, 4*l seria una primera aproximació del perímetre de la semicircumferència.

Calcularem, ara, quan val aquest costat l amb el qual podrem aproximar el valor del perímetre. Per fer-ho, ampliarem una mica un d'aquests quatre triangles:

Figura 2:Ampliació d'un dels triangles

Ara ja podem aplicar trigonometria elemental per trobar la meitat del costat (l/2), valor a partir del qual ja podrem calcular el perímetre aproximat de la semicircumferència:

D'aquesta equació podem deduir que:

A més, el valor de l'angle theta és la quarta part de l'arc d'una semicircumferència θ = 180⁰ / 4 = 45⁰. Ara ja tenim tots els ingredients necessaris per aproximar el perímetre p:

Així doncs, una primera aproximació del perímetre s'aconsegueix multiplicant el radi r per 8*sin(22,5⁰). De manera que una primera aproximació de π seria la següent: 8*sin(22.5⁰) = 3,06146745892072. No està gens malament per a una primera aproximació. L'error comès respecte al valor "real" de π és de tot just un 2.5%.

Com podem apropar-nos més al valor de π? La resposta és força senzilla. Havíem dividit la semicircumferència en 4 triangles. Què passa si en fem 8? Ens trobarem, llavors, amb la figura següent:

Figura 3: Semicircumferència dividida en 8 triangles

Si procedim exactament de la mateixa manera que abans, ara podem calcular una millor aproximació del perímetre:

Ara l'angle θ és la meitat que abans, perquè tenim 8 triangles en comptes de 4. Així doncs, θ = 22,5⁰. La nova aproximació de π es pot calcular com a 16*sin(11,25⁰) = 3,12144515225805. Sembla que cada cop ens anem apropant més al valor 3,14159265358979... que esperàvem.

Podem continuar aquest procés, duplicant el nombre de triangles tantes vegades com vulguem i, d'aquesta manera, ens anirem apropant cada cop més al valor de π. Aquí teniu una taula amb els valors aproximats de π que s'obtenen a mida que anem duplicant el nombre (n) de triangles:

Veiem que amb 2²⁴ triangles trobem un valor de π amb 15 xifres decimals exactes.

La divisió de Cassini

Els egipcis, quan havien de calcular la superfície d'un cercle el que feien era aproximar l'àrea del cercle amb l'àrea d'un quadrat que tenia el costat igual a 8/9 el radi del cercle. Això dóna una àrea aproximada del cercle de [(8/9)*2*r]². És a dir, l'aproximació de π a l'antic Egipte era de (64/81)*4 = 256 / 81 = 3,1604938271604938.... L'error comès amb aquesta aproximació és de només el 0.6%. Aquesta aproximació és igual de bona que la que s'obté amb el mètode descrit en aquest article fent servir 8 triangles. No està gens malament tot considerant que els egipcis no disposaven dels coneixements de geometria i trigonometria que trigarien segles a arribar.